Arnold’s Cat Map

 Arnold’s Cat Map

`Arnold’s Cat Map (ACM) merupakan fungsi chaos dwimatra dan bersifat reversible.Fungsi chaos ini ditemukan oleh Vladimir Arnold pada tahun 1960, dan kata “cat” muncul karena dia menggunakan citra seekor kucing dalam eksperimennya.ACM mentransformasikan koordinat (x, y) di dalam citra yang berukuran N × N ke koordinat baru (x’,y’). Persamaan iterasinya adalah: (Munir, 2012)

           

(2.2)

yang dalam hal ini:

x_i, y_i                         : posisi pixeldi dalam citra,

x_i+1, y_i+1                    : posisi pixel yang baru setelah iterasi ke-i,

b dan c                   : integer positif sembarang

Determinan matriks  harus sama dengan 1 agar hasil transformasinya bersifat area-preserving, yaitu tetap berada di dalam area citra yang sama. ACM termasuk pemetaan yang bersifat satu ke satu karena setiap posisi pixel selalu ditransformasikan ke posisi lain secara unik. ACM diiterasikan sebanyak mkali dan setiap iterasi menghasilkan citra yang acak.Nilai b, c dan jumlah iterasi m dapat dianggap sebagai kunci rahasia (Yu, 2006).

Proses yang terjadi di dalam setiap iterasi ACM adalah pergeseran (shear) dalam arah y kemudian ke arah x, dan semua hasilnya dimodulokan dengan N agar tetap berada di dalam area gambar (area-preserving).

Setelah ACM diiterasikan sebanyak m kali, maka terdapat T sedemikian sehingga (x_T, y_T) = (x, y), yang dalam hal ini nilai T bergantung pada b, c dan ukuran N (We-bin, 2009). Ini berarti sesudah ACM diiterasikan sebanyak T kali, maka hasil iterasinya kembali ke citra semula, sehingga ACM dikatakan bersifat reversibledan periodenya adalah T. Menurut Struss (2009), penelitian Freeman J. Dyson dan Harold Falk menemukan bahwa T<3N.